غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.

خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.

در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.

بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد.

به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.

دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند.

وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.

خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.

تاریخ نگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.

اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد.

آثار

خیام آثار علمی و ادبی بسیار تالیف نمود که معروفترین آنها هفده رساله و کتاب است بشرح زیر:

۱- رساله فی براهین‌الجبر و المقابله به زبان عربی، در جبر و مقابله که فوق العاده معروف است و بوسیله دکتر غلامحسین مصاحب در تهران به چاپ رسیده است.

۲- رساله کون و تکلیف به عربی درباره حکمت خالق در خلق عالم و حکمت تکلیف که خیام آن را در پاسخ پرسش امام ابونصر محمدبن ابراهیم نسوی در سال ۴۷۳ نوشته است و او یکی از شاگردان پورسینا بوده و در مجموعه جامع البدایع باهتمام سید محی الدین صبری بسال ۱۲۳۰ و کتاب خیام در هند به اهتمام سلیمان ندوی سال ۱۹۳۳ میلادی چاپ شده است.

۳- رساله‌ای در شرح مشکلات کتاب مصادرات اقلیدس و این رساله در سال ۱۳۱۴ به اهتمام دکتر تقی ارانی به چاپ رسید که از لحاظ ریاضی بسیار مهم است.

۴- رساله روضة‌القلوب در کلیات وجود.

۵- رساله ضیاء العلی.

۶- رساله میزان‌الحکمه.

۷- رساله‌ای در صورت و تضاد.

۸- ترجمه خطبه ابن سینا.

۹- رساله‌ای در صحت طرق هندسی برای استخراج جذر و کعب.

۱۰- رساله مشکلات ایجاب.

۱۱- رساله‌ای در طبیعیات.

۱۲- رساله‌ای در بیان زیگ ملکشهاهی.

۱۳- رساله نظام الملک در بیان حکومت.

۱۴- رساله لوازم‌الاکمنه.

۱۵- اشعار عربی خیام که در حدود ۱۹ رباعی آن بدست آمده است.

۱۶- نوروزنامه.

۱۷- رباعیات فارسی خیام که در حدود ۲۰۰ چارینه (رباعی) یا بیشتر از حکیم عمر خیام است و زائد بر آن مربوط به خیام نبوده بلکه به خیام نسبت داده شده.

۱۸- عیون الحکمه.

۱۹- رساله معراجیه.

۲۰- رساله در علم کلیات.

۲۱- رساله در تحقیق معنی وجود.

مثلث خیام ، پاسکال

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)0 = 1 (1)

(a+b)1 = a+b (1,1)

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)

(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)

. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث ابی چنین است:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید.

اقلیدس
رياضيدان يوناني ( 323ق.م – 283ق.م )

«اقلیدس» پسر «نوقطرس بن برنیقس»، ریاضی دان، منجم و هندسه دان بزرگ تاریخ است که در سال 323 ق.م متولد شد. اقلیدس ریاضیدان یونانی در شهر اسکندریه مصر زندگی می کرد و کتاب معروف «اصول هندسه» را در این شهر بزرگ آموزشی نوشت. «اصول هندسه»، کتاب درسی اقلیدس بود که بیش از 2000 سال مورد استفاده قرار گرفت. «ژولیو سزار»، «آیزاک نیوتون»، «جرج واشنگتن» و «آلبرت انیشتین» همگی هندسه مسطحه مقدماتی را از روي کتاب اقلیدس فرا گرفتند. اقلیدس این درک علمی را به وجود آورد که تنها گردآوری واقعیت ها کافی نیست، بلكه باید به واقعیت ها نظم منطقی داد و آنها را خلاصه و نظام مند کرد، تا اصول کلی به دست آیند. اقلیدس با دقت تمام، کتاب خود را سازماندهي کرد. بدين ترتيب كه ابتدا تمام دانسته های مربوط به موضوع را جمع آوری کرده، بسياري از تعاریف و حقایق اساسی یا بدیهیات را معرفی کرد، مابقي کتاب را به طور منطقی مرتب نموده و برهانهای گمشده را پیدا کرد. او نتایج هندسه خود را با استفاده از برهانهای ریاضی و بر مبنای بدیهیات و اصول موضوع یا فرض هایی که در ابتدای کتاب خود آورده است، تکامل بخشید.
فرض پنجم اقلیدس، اصل موضوع موازی بودن است : از نقطه ای خارج از یک خط ، تنها یک خط می توان به موازات آن رسم کرد. اصل موضوع موازی بودن، اثبات می كند که مجموع زواياي داخلی هر مثلث برابر 180 درجه است. قرنها بعد، «کارل گاوس» ریاضیدان بزرگ ، این مشاهدات را مورد آزمایش قرار داد. او از تلسکوپ های قوی و تجهیزات نقشه برداری دقیق برای اندازه گیری زاویه های مثلث با ضلعهای چند کیلومتری استفاده کرد. با در نظر گرفتن خطای آزمایش، مجموع زواياي داخلی هر مثلث، همانگونه که اقلیدس گفته بود، 180 درجه شد. اصل موضوع موازی بودن، امروزه همچنان به عنوان یک فرض محسوب مي شود. ریاضیدانانی از جمله گاوس، فرض های دیگری را به منظور دیدن آنچه که روی می دهد، جانشین کردند. اخترشناسان اعتقاد دارند که برخی از هندسه های نااقلیدسی، می توانند کاربردهایی در جهان واقعی داشته باشند. مثلا ریاضیات حاکم بر ستاره های نوترونی، ممکن است نا اقلیدسی باشد.
كتاب « مبانی هندسه»، مرجع كاملي در زمينه هندسه مسطحه، تناسب، خواص اعداد و هندسه فضایی است. اقليدس در این کتاب ثابت مي كند كه تعداد اعداد اول، بی نهایت است.
معروفترین نقل قول اقلیدس مربوط به گفته ای است که در پاسخ به بطلمیوس اول، پادشاه مصر و لیبی، بيان داشته است. به بطلمیوس پیشنهاد شده بود که هندسه را پیش اقلیدس بخواند. بطلمیوس پی برد که فهم قضایای هندسه برای او مشکل است و از اقلیدس درخواست کرد که راه ساده تری برای آموزش آنها انتخاب کند. اقلیدس سریعاً پاسخ داد كه در هندسه راه شاهانه وجود ندارد.
از زندگی شخصی اقلیدس عملاً چیزی شناخته شده نیست. احتمالاً وی پیش از سفر به اسکندریه، در آتن تحصیل کرده است. او مبانی هندسه را در یونان نوشت که پس از ترجمه متن عربی آن به زبان لاتین، به دست دانشمندان دوران رنسانس رسید.
شهرت اقليدس به دليل نوشتن مجموعه اصول ( 13 کتاب) است. این کتابها حاوی اصول و قضایای هندسی بودند و بیش از 2000 سال پایه ریاضیات را تشکیل می دادند.
در واقع این کتابها چنان واضح نوشته شده بودند که نسخه اصلاح شده آنها تا اوایل سالهای 1900 میلادی هنوز در مدارس استفاده می شد. این کتابها مبتني بر کارهای خود او و دیگر ریاضیدانان یونانی از جمله هیپوکرات از اهالی کیوس (قرن پنجم ق.م)، تئودیوس، تئاتتوس، و ادوکسوس است. در این کتابها فرمولهای هندسی، مانند فرمولهای تهیه شده توسط ریاضیدان و فیلسوف یونانی فیثاغورث ( تقریباَ570 تا    500 ق.م ) برای محاسبه اندازه دایره، کره، و حجم اشکال فضایی منتظم ارائه شده است. این کتابها همچنین به عنوان زیربنای ریاضیات جدید محسوب مي شوند. ديگرموضوعات مورد بحث در اصول، عبارتند از: اپتیک (نورشناسی) و پرسپکتیو (علم مناظر) . کار اقلیدس به عربی ترجمه شد و در سراسر اروپا و خاورمیانه گسترش يافت.
او همچنين کتابی به نام «جومطی یا» تالیف کرده است که در یونانی آن را« اسطروشیا» مي نامند و معنی آن« اصول هندسه» می باشد. اقلیدس در حدود 300 ق.م، و دوران حکومت بطليموس اول (حدود 367 تا حدود 283ق.م) در مصر، مدرسه ای را در اسکندریه مصر تاسیس نمود كه مرکز مطالعات علمی یونانی شد. در کتاب برهان آمده است : « اقلیدس به معنی کلید هندسه می باشد، چرا که اقلی به زبان یونانی یعنی کلید و دس به معنای هندسه است».
اگر چه بعضی از قضایای اقلیدس هنوز معتبر است، اما ریاضیدان و فیزیکدان معروف، آلبرت انيشتین (1879-1955م) ثابت کرد که هندسه اقلیدس در سراسر فضا و زمان معتبر نیست. اقلیدس تالیفاتی نیز درباره موسیقی و موضوعات دیگر دارد. او در سال 283 ق. م در گذشت.

شناسنامه

زادروز: 30 آوریل 1777 میلادی (11 اردیبهشت 1155 خورشیدی)

زادگاه: Deutschland, Braunschweig (برانشوایگ آلمان)

درگذشت: 23 فوریه ی 1855 میلادی ( 4 اسفند 1234 خورشیدی)

پیشه: ریاضی دان، دانشمند، نقشه کش

ملیت: آلمانی

کوتاه ترین توصیف درباره ی او :

بزرگ ترین ریاضی دان آلمانی است، و به عنوان یکی از برترین ریاضی دانان همه دوران شناخته شده است، و شاید بتوان گفت که برترین آنهاست.

روزگار کودکی

گاوس، این ریاضی دان آلمانی، در خانواده ای محروم، در شهر برانشوایگ زاده شد. گفته می شود که هوش سرشار او زمانی آشکار شد که در سه سالگی اشتباهی را که پدرش در محاسبه ی دارایی ها، بر روی کاغذ، انجام داده بود در ذهنش درست کرد. داستان دیگری که درباره ی هوش بسیار او گفته می شود آن است که آموزگارش، در دبستان، برای سرگرم کردن شاگردان به آنان گفت شماره های 1 تا 100 را با هم جمع کنند؛ گاوس خردسال پاسخ درست را در چند ثانیه با به کارگیری یک بینش ریاضیاتی چشمگیر به دست آورد. رهیافتی که او به کار بست چنین بود: او دانست که با جمع کردن دو به دوی عبارت ها از دو سر فهرست شماره ها پاسخ هر یک از این جمع ها برابر خواهد شد:

1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ...

برای جمع کل هم خواهیم داشت:

50*101=5050

میان‌سالی

گاوس در پایان نامه ی سال 1799 خود اثباتی بر قضیه ی بنیادین جبر ارائه کرد. این قضیه ی مهم می گوید که "هر چندجمله ای درجه ی n، با به شمار آوردن ریشه های تکراری، دارای n جواب است".

آوازه ی او با انتشار Disquisitiones Arithmeticae (مقاله های حساب) در 25 سالگیش بسیار افزایش یافت. در سال 1807 به استادی رصدخانه و دانشگاه "گوتینگن" دست یافت و تا پایان زندگیش این سِمت را در دست داشت. مقاله ی "نظریه ی حرکت اجرام آسمانیِ در حال حرکت در مقاطعی مخروطی پیرامون خورشید" را در سال 1809، در هامبورگ، منتشر کرد؛ مقاله ای که انگیزشی قوی را برای روش های درست مشاهده های اخترشناسی به دست داد. مقاله های اخترشناسی، مشاهده ها، محاسبه های مدار سیاره ها و ستاره های دنباله دار و ... او همچنانکه بیشمارند بسیار ارزشمند نیز هستند.

توانمندی مغز گاوس در محاسبه بسیار شگفت انگیز بود. مشهور است هنگامی که از او پرسیدند چگونه می تواند مسیر حرکت سیارک سِرِس را با این دقت پیشگویی کند، او پاسخ داد "لگاریتم ها را به کار می برم". پرسشگر خواست بداند که او چگونه شمار بسیاری از عددها را می تواند از جدول ها چنین سریع ببیند و بخواند. گاوس پاسخ داد " به آن ها نگاه کنم؟ چه کسی نیاز دارد به آن ها نگاه کند؟ من آن ها در در ذهنم محاسبه می کنم"!

گاوس ادعا کرد که امکان هندسه ی نااقلیدسی را کشف کرده است ولی هرگز آن را منتشر ننمود. این یافته ی او یک جهش کلیدی در دانش ریاضی بود چنانکه ریاضیدانان را از این باور نادرست که اصل های اقلیدسی تنها راه پایداری هندسه هستند رهانید. پژوهش در این دامنه از هندسه، ما را به سوی نظریه ی نسبیت عمومی آینِشتاین راه می نمایاند، نظریه ای که جهان را بر پایه ی هندسه ی نااقلیدسی شرح می دهد.

او تلاش خود را در زمینه ی "نظریه ی اعداد" و موضوع های تحلیلی دیگر پی گرفت و مقاله های بسیاری را برای Königliche Gesellschaft der Wissenschaften (انجمن پادشاهی علوم) در گوتینگن فرستاد.

کهن‌سالی، مرگ و پس از آن

نخستین مقاله ی او در زمینه ی الکترومغناطیس در سال 1833 میلادی چاپ شد. پس از زمانی کوتاه، تا مدت ها با Wilhelm Weber، فیزیکدان نامدار، برای ساخت دستگاه نوین مشاهده ی مغناطیس زمین و دگرگونی های آن، در ارتباط بود. ابزارهایی که آنان ساختند "دستگاه انحراف مغناطیسی" و "مغناطیس سنج bifilar" بود.

با یاری وبر، در سال 1833 در گوتنگین، یک رصدخانه ی مغناطیس که در ساختارش هیچ قطعه ی آهنی نبود ساخت و در آن مشاهده های مغناطیسی را انجام داد؛ و از همین رصدخانه سیگنال های تلگرافی را به شهرک های پیرامون فرستاد و بدین گونه عملی بودن تلگراف الکترومغناطیسی را نشان داد. افزون بر این ها، او یک انجمن با نام Magnetischer Verein (انجمن مغناطیسی) را بنیاد نهاد که در نوع خود در آلمان برای نخستین بار بوده است. او یک روش اندازه گیری شدت میدان مغناطیسی افقی را گسترش داد که در نیمه ی دوم سده ی بیستم به کار می رفته است و نظریه ی ریاضی برای جداسازی منابع درونی (هسته و پوسته) و بیرونی (مغناطیس-سپهر) میدان مغناطیسی زمین را حل کرد. مقاله های Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins (نتایج انجمن های مشاهده های مغناطیسی) از سال 1836 تا 1839 منتشر شدند که، در این میان، در سال های 1838 و 1839 دو مقاله ی بسیار ارزشمند گاوس منشر شد: Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (نیروی مغناطیسی کلی زمین) و Allgemeine Lehrsatz (قضیه ی عمومی) که درباره ی نظریه ی "نیروهای ربایشی مطابق با معکوس توان دوم فاصله" است.

ابزار ها و روش هایی که بدین گونه منسوب به اوست در مشاهده های مغناطیسی در سراسر جهان به کار گرفته می شوند. از دیگر کارهای او همکاری در اندازه گیری های "هانوفری- دانمارکی" درباره ی عملیات مثلثاتی و کمانی بود (1821 - 1848)؛ همچنین دو مقاله را با عنوان Über Gegenstände der höheren Geodäsie (درباره ی موضوع برترین نقشه برداری) در سال های 1843 و 1846 منتشر کرد و نیز چندین و چند مقاله ی دیگر. گاوس در زمینه های گوناگون ریاضی اعم از جبر، هندسه، و حساب دیفرانسیل و انتگرال نوآفرینی های بنیادین بسیاری را ارایه کرده است. گاوس چنین باور داشت که ریاضی باید بازتابی از جهان واقع باشد؛ با این باور، نوآفرینی های او نقشی بنیادین در پیشبرد دانش ریاضی داشته است. گاوس در ادبیات بسیار چیره دست بود و نیز زبان های مهم اروپایی نوین را به خوبی می دانست. او همچنین هموَند "انجمن دانش های پیشرو در اروپا" بود. او در 23 فوریه ی 1855 در گوتینگن درگذشت.

جشن صد سالگی او در سال 1877 در زادگاهش برانشوایگ برگزار شد. کارها و پژوهش های گاوس از سوی "انجمن پادشاهی علوم" گوتینگن در سال های 1863 تا 1871 در هفت جلد گردآوری شد که نویسنده ی آن ها E. J. Schering بوده است؛ نام آن کتاب ها از این قرارند: 1. مقاله های حساب (Disquisitiones Arithmeticae) 2. نظریه ی اعداد 3. تحلیل ریاضی 4. هندسه و روش کم ترین مجذورات 5. فیزیک ریاضیاتی (Mathematical Physics) 6. اخترشناسی 7. نظریه ی حرکت اجرام آسمانی بیشتر نوشتارهای ریاضی محض او در جلدهای دوم و سوم و چهارم جای دارند (که باید "ربایش"را که در جلد پنجم است به این ها بیفزاییم). بعدها چند جلد دیگر هم افزون بر این ها چاپ شد: Funamente der Geometrie usw (بنیاد هندسه ) (1900) و Geodatische Nachträge zu Band IV (1903) که آن ها افزون بر آن که دربردارنده ی کارهای گوناگون، مقاله ها، نقدها و یادداشت هایی درباره ی نوشته های خودش و نیز نوشته های دیگران در Göttingen gelehrte Anzeigen (اسناد دانش آموختگان گوتینگن) بود، مقدار چشمگیری از موضوع ها و نوشتارهای چاپ نشده ی پیشین را نیز دربرداشت، Nachlass (دارایی شخص مرده).

زندگی خانوادگی

زندگی شخصی گاوس در سایه ی مرگ زودهنگام نخستین همسرش، Johanna Osthoff، در سال 1809 میلادی و در پی آن مرگ پسر یک ساله اش لوییس، در سال 1810، تاریک شده بود. این رویدادها گاوس را به چنان افسردگی فرو برد که هرگز نتوانست از آن رهایی یابد. او با یکی از دوستان همسرش که Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna) نام داشت ازدواج کرد، ولی این ازدواج دوم هم چندان فرخنده نبود. هنگامی که همسر دومش در سال 1831 میلادی، پس از یک بیماری طولانی، درگذشت یکی از دخترانش، Therese، نگهداری خانه و پرستاری از گاوس را تا پایان زندگی او پذیرفت.

گاوس شش فرزند داشت، سه فرزند از هر یک از همسرانش. از یوآنا : Joseph (1806-1873)، Wilhelmina (1808-1846) و Louis (1809-1810). از میان همه ی فرزندان، ویلهلمینا را می توان وارث تمام و کمال هوش گاوس دانست ولی مرگ او در جوانی روی داد. از مینا والدک: Eugene (1811-1896)، Wilhelm (1813-1879) و Therese (1816-1864). اویگِنه پس از کشمکشی که با پدرش داشت در سال 1832 میلادی به آمریکا مهاجرت کرد. ویلهلم هم به کشاورزی پرداخت و پس از آن یک بازرگان موفق کفش شد. ترزه هم ازدواج کرد و تا پایان زندگی گاوس از او پرستاری کرد.

منش و شخصیت

گاوس به کمال در اخلاق و انسانیت باور داشت و نیز بسیار کوشا بود. او بسیار کم به نشر کارهایش می پرداخت چرا که از انتشار کارهایی که رسیدگی و ویرایش نشده اند سر باز می زد، که این هم هماهنگ با شعار "کم ولی پربار" اوست. پس از خواندن دفترچه یادداشت او آشکار شد که در واقع چندین و چند مفهوم ریاضی بسیار با ارزش را سال ها و یا حتی چند دهه پیش از آن که از سوی معاصران او منتشر شود یافته است. تاریخ نویس نامدار ریاضی، Eric Temple Bell، برآورد کرد که اگر گاوس همه ی آنچه را که می دانست آشکار می کرد دانش ریاضی 50 سال پیش می افتاد. (Bell, 1937) از سوی دیگر، گاوس را از آنجا که از ریاضیدانان جوانی که خواهان پیروی از او بودند پشتیبانی نمی کرد نکوهش می کنند. او بسیار کم، و شاید هرگز، با ریاضیدان دیگری همکاری نکرد. گرچه گاوس چند دانشجو را پذیرفت ولی همه بیزاری او از تدریس را می دانستند (گفته شده است که او تنها در یک سخنرانی علمی حضور داشت، که در سال 1828 میلادی در برلین برگزار شد). به هر روی، چندین تن از دانشجویان او ریاضیدانانی نامدار شدند کهRichard Dedekind ، Bernhard Riemann، و Friedrich Bessel از آن دسته بودند. پیش از مرگ Sophie Germain، گاوس اعطای مدرک افتخاری به ژرمااین را پیشنهاد داد.

بودجه‌بندی مرحله استانی(نیمه نهایی)  لیگ علمی پیشگامان ایران اسلامی (پایا)
مرحله استانی(نیمه نهایی) لیگ علمی پایا جمعه 19 اردیبهشت ماه با حضور پذیرفته‌شدگان مرحله اول برگزار خواهد شد.
بدین وسیله بودجه بندی سوالات مرحله نیمه نهایی در جدول ذیل اعلام می گردد.

اطلاعیه شماره 1 مرحله دوم آزمون انتخابی مسابقات جهانی ریاضی 2014IMC:

1. آزمون مرحله دوم انتخابی مسابقات جهانی ریاضی IMC2014 روز جمعه 29فروردین ماه ساعت 15  به صورت متمرکز در شهر تهران برگزار خواهد شد.
2. کلیه دانش‌آموزان پذیرفته شده مرحله اول مجاز به شرکت در این مرحله از آزمون می باشند.
3. دانش آموزان ساکن تهران که به هر دلیل موفق به شرکت در دوره‌های آموزشی حضوری و مجازی نشده‌اند؛ می‌توانند با همراه داشتن یک قطعه عکس، مبلغ 100.000 ريال و معرفی نامه عکس دار ممهور به مهر مدرسه از روز دوشنبه 25 فروردین الی چهارشنبه 27فروردین از ساعت 9 الی 17 جهت ثبت نام به خانه ریاضی تهران به نشانی خیابان انقلاب- بین خیابان فلسطین و چهار راه ولیعصر(عج) – خیابان برادران مظفر شمالی-پلاک 68- پژوهش‌سرای دکتر کاظمی آشتیانی- بلوک 3 مراجعه نمایند.
4. دانش‌آموزان ساکن شهرستان که به هر دلیل موفق به شرکت در دوره های آموزشی حضوری و مجازی نشده‌اند؛ جهت ثبت‌نام و دریافت کارت ورود به جلسه می‌توانند با همراه داشتن یک قطعه عکس، مبلغ 100.000 ريال و معرفی نامه عکس دار ممهور به مهر مدرسه روز جمعه 29 فروردین‌‌ماه از ساعت 9 الی 14 به حوزه‌های آزمونی خود  در شهر تهران (که در اطلاعیه‌های بعدی اعلام خواهد شد) مراجعه نمایند.
5. دانش‌آموزان تهرانی ثبت‌نام کننده در دوره های حضوری و مجازی نیازی به ثبت­نام مجدد نداشته وجهت دریافت کارت ورود به جلسه، بایستی همراه با یک قطعه عکس و معرفی نامه عکس دار ممهور به مهر مدرسه از روز دوشنبه 25 فروردین الی چهارشنبه 27فروردین از ساعت 9 الی 17 به خانه ریاضی تهران به نشانی خیابان انقلاب- بین خیابان فلسطین و چهار راه ولیعصر(عج) – خیابان برادران مظفر شمالی- پلاک 68- پژوهش‌سرای دکتر کاظمی آشتیانی- بلوک 3 مراجعه نمایند.
6. دانش‌آموزان شهرستانی ثبت‌نام کننده در دوره‌های حضوری و مجازی نیازی به ثبت­نام مجدد نداشته و جهت دریافت کارت بایستی همراه با یک قطعه عکس و معرفی نامه عکس دار ممهور به مهر مدرسه روز جمعه 29 فروردین‌‌ماه از ساعت 9 الی 14 به حوزه‌های آزمونی خود در شهر تهران (که در اطلاعیه‌های بعدی اعلام خواهد شد) مراجعه نمایند.
7. کلیه دانش آموزان می بایست واجد شرایط سنی مندرج در آیین نامه ثبت نام باشند؛ بدیهی است در صورت قبولی دانش‌آموزی خارج از رده سنی اعلام شده در هر مرحله­ای از آزمون، امکان حضور در مراحل بعدی برای وی وجود نخواهد داشت و خانه ریاضی مسوولیتی در قبال این افراد ندارد.
8. هنگام ورود به حوزه آزمون همراه داشتن کارت ورود به جلسه و معرفی نامه عکس دار ممهور به مهر مدرسه برای کلیه دانش آموزان اجباری است و درصورت همراه نداشتن کارت و معرفی‌نامه مدرسه به هر علتی خانه ریاضی اختیار تام دارد که از ورود این افراد به حوزه‌ی آزمونی خودداری نماید.

---

این پی دی اف روش ساده ای را برای یاد گرفتن سینوس و کسینوس به شما  معرفی می کند

دانلود

ابوجعفر محمد بن موسی خوارزمی ریاضیدان، ستاره‌شناس، فیلسوف، جغرافیدان و مورخ شهیر ایرانی در دوره عباسیان است. وی در حدود سال ۷۸۰ میلادی (قبل از ۱۸۵ قمری) در خوارزم (ازبکستان کنونی) زاده شد. ابن ندیم و قفطی اصالت او را از خوارزم می دانند. لقب وی معمولاً اشاره به شهر خوارزم دارد که همان خیوه کنونی واقع در جنوب دریاچه آرال مرکزی و بخشی از جمهوری ازبکستان است.شهرت علمی وی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات، به‌ویژه در رشته جبر، انجام داده به طوری که هیچیک از ریاضیدانان سده‌های میانه مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته‌اند و وی را «پدر جبر» نامیده‌اند. جرج سارتن، مورخ مشهور علم، در طبقه‌بندی سده‌ای کتاب خود مقدمه‌ای بر تاریخ علمسده نهم هجری قمری را «عصر خوارزمی» می‌نامد.

خوارزمی ریاضی‌دان بنام قرون وسطی است که حاصل تحقیقات و تألیفات او هنوز مورد استفاده می‌باشد و کتاب جبر و مقابله او را بسیاری از مترجمان مشهور قرون وسطی ترجمه کرده‌اند. بیشترین چیره‌دستی وی در حل معادله‌های خطی و درجه دوم بوده‌است. کتاب Algoritmi de numero Indorum که ترجمه کتاب جمع و تفریق با عددهای هندی او به لاتین است باعث شد تا دستگاه عددی در اروپا از عددنویسی رومی بهعددنویسی هندی-عربی تغییر یابد؛ چیزی که هنوز نیز در اروپا و دیگر نقاط جهان فراگیر است. واژه جبر را اروپائیان بطور کلی از کتاب خوارزمی و اصطلاح امروزی الگوریتم (Algorithmus) از نام خوارزمی گرفته شده است. به هنگام خلافت مامون، وی عضو دارالحکمه که مجمعی از دانشمندان در بغداد به سرپرستی مامون بود، گردید. خوارزمی کارهای دیوفانت را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت.

ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال ۲۱۲ قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش بهاسکندریه رفت. بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می‌گذشت، همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تأمین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد. زمانی که رومیان در سال ۲۱۲ قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود در آوردند، سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند و متفکر مشهور و بزرگ را ندارند، با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد. او بوسیله یک سرباز مست رومی در ۲۷۸ قبل از میلاد به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می‌گویند آخرین کلمات او این بود: دایره‌های مرا خراب نکن.

کشف بزرگ ارشمیدس

هیرو، پادشاه سیراکوز، زرگری را مأمور کرده بود تا برایش تاجی از طلای خالص بسازد. وقتی تاج تکمیل شد و به دست پادشاه رسید، تردید داشت که زرگر تمام طلا را به کاربرده باشد. شاه هیرو، دوست خود ارشمیدس را احضار کرد و از این ریاضیدان مشهور خواست تا بفهمد آیا واقعاً تاج از طلای خالص است و تمام فلز با ارزشی که پادشاه به زرگر داده در آن به کار رفته است یا نه. در سده ی سوم پیش از میلاد، شیمی تحلیلی به اندازه ی ریاضیات پیشرفته نبود و ارشمیدس در ریاضیات و مهندسی توانایی بسیار داشت. ارشمیدس قبلاً برای محاسبه ی حجم جامدهایی که شکلی منظم مثل کره یا استوانه داشتند دستورهای ریاضی ابداع کرده بود. او می دانست که اگر بتواند حجم تاج هیرو را تعیین کند، خواهد فهمید که آیا تاج از طلای خالص درست شده است یا از مخلوطی از طلا با فلزات دیگر.وقتی پا به خزینه گذاشت و دید که آب از آن سر ریز کرد، متوجه شد که حجم آبی که بیرون ریخته است دقیقاً با حجم قسمتی از بدن او که وارد آب شده برابری می کند. بنابراین متوجه شد که اگر تاج را در ظرف آبی قرار دهد حجم آبی که از ظرف سرازیر می شود یا در آن بالا می رود حجم تاج می باشد، وی که بسیار هیجان زده شده بود برهنه از حمام بیرون دوید و فریاد می زد یافتم! یافتم .او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می‌راند، ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جابجا می‌کند. به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده، بلکه جواهر ساز متقلب آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته‌است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد. آن هم اینکه می‌توان حجم اجسام با شکل نامظم را با کمک مقدار مایعی که جابجا می‌کنند اندازه گیری کرد. این قانون (وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می‌گویند اصل ارشمیدس می‌نامند. حتی امروز هم هنوز پس از ۲۳ قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

تولد :12 ذالحجهُ 362 هجری كاث، خوارزم ( شهر كارا ـ كلپاكسكایا كنونی وا قع در ا زبكستان)

وفا ت : 4 رجب 440 هجری غزنه ( غزنه كنونی در ا فغا نستان )

ابو ریحان بیرونی در خوارزم ،منطقه ای كه در مجاورت دریا ی آرال قرار دارد و امروزه همه آن را به نام كارا كلپاكسكایا می شناسند ، به دنیا آمد . كاث و جورجانیه دو شهر بزرگ این منطقه به شمار می رفتند . بیرونی در نزدیكی كاث به دنیا آمد و نام شهری كه در آن متولد شد را به افتخار او ، بیرونی نام نهادند .او در هر دو شهر كاث و جورجانیه زندگی كرد و پرورش یافت ومطالعه و تحصیل علم را درحالی كه خیلی جوان بود تحت نظر ریاضی دان و ستاره شناس مشهوری به نام ابو نصر منصور آغاز نمود .بی تردید بیرونی از سن 17 سالگی به انجام فعالیتهای علمی مهم و ویژه ای پرداخت .وی در سال 379 با مشاهده بیشترین ارتفاع خورشید ،عرض جغرافیایی شهر كاث را محاسبه كرد .

فعالیتهای دیگری كه بیرونی به عنوان یك مرد جوان و كم تجربه انجام داد ،بیشتر نظری بود .قبل از سال 384 ( وقتی كه22ساله بود) چندین اثركوتاه ازخود برجای گذاشت .یكی ازآثارموجوداوتحت عنوان" نقشه كشی"( Cartography ) اثری است كه در آن به بررسی نقشه های جغرافیایی پرداخته است .در این اثر , او علاوه بر این كه نقشه نیم كره را روی صفحه سطح ترسیم كرده است ،نشان داده كه تا سن 22 سالگی بسیار مطالعه داشته ,چرا كه او مجموعه كاملی از نقشه هایی كه دیگران رسم كرده اند را مورد مطالعه و بررسی قرار داده و موارد مربوط به آنها را دراین رساله مورد بحث قرار داده است . زندگی نسبتا ْ آرام بیرونی تا این مرحله ، پایان غیرمنتظره ای به همراه داشت .

در اواخر قرن چهاردهم و اوایل قرن پنجم در عالم اسلام شورش عظیمی بر پا شد و در منطقه ای كه بیرونی در آن زندگی می كرد ،جنگ های داخلی در حال وقوع بود .در این زمان خوارزم بخشی از فرمانروایی سامانیان و بخارا مركز آن به شمار می رفت .حكومت زیار با پایتختش در گرگان در كنار دریای خزر از دیگر حكومت های این منطقه بود .از طرف غرب ،خاندان آل بویه بر سراسر ناحیه بین دریای خزر و خلیج فارس و همچنین بین ا لنهرین حكومت می كرد .سلسله پادشاهی دیگری كه به سرعت طلوع كرد ، سلسله غزنویان بود كه پایتختشان را شهر غزنه در افغانستان اختیار كردند .این حكومت نقش مهمی را در زندگی بیرونی ایفا كرد .

بنو عراق از جمله فرمانروایان منطقه خوارزم بود و ابو نصر منصور ـ استاد بیرونی ـ یكی از امیران آن خاندان به شمار می رفت . در سال 384 حكومت بنو عراق با یك قیام سرنگون شد . بیرونی به هنگام شروع جنگ داخلی از آن منطقه گریخت اما اینكه برای ستاد بیرونی ـ ابو نصر منصور ـ چه اتفاقی افتاد ، معلوم نیست .

قضیهٔ فیثاغورس در هندسه و فضای اقلیدسی بخشی از صورت کلی قانون کسینوس‌ها هنگامی که زاویهٔ بین دو بردار ۹۰ درجه‌است می‌باشد. این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است. به سخن دیگر در یک مثلث راست‌گوشه (قائم الزاویه) همواره مجموع توان‌های دوم دو ضلع برابر با توان دوم ضلع سوم است.

قانون کسینوس‌ها بیان می‌کند که اگر دو بردار (یا خط) a و b در راس O تشکیل یک زاویه با نام A بدهند بردار مجموع از رابطهٔ  بدست می‌آید.

همانطور که می‌بینید هر گاه زاویه A برابر با ۹۰ درجه باشد مقدار  صفر شده و در نتیجه صورت قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید:

وارون این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر، اگر  باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. اثبات عکس قضیه فیثاغورس را به اقلیدسنسبت داده‌اند.

عدد گُنگ یا اصم در دستگاه اعداد به‌صورت عددی حقیقی تعریف می‌شود که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از ،  و  نام برد.

در واقع عدد گنگ یا اصم ، عدد اعشاری ای است که ارقام اعشاری آن بی پایان بوده ولی دوره گردش هم ندارد.

اعداد گویا یا اعداد منطقی در حقیقت همان کسرها (نه همه کسرها) هستند که دارای علامت‌های مثبت و منفی هستند. درواقع اعداد صحیح،طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. اعداد گویا را می‌توان روی محور نمایش داد. مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا جزء اعداد حسابی هستند و در نتیجه آنان نیز جزء اعداد گویا به حساب می‌آیند. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد طبیعی) هستند. بی نهایت کسر بین دو عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا با علامت مثبت بزرگتر از اعداد گویا با علامت منفی هستند. اعداد گویا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه دارند. ضمنا نماد اعداد گویا Q می باشد.

اشتباه نسبتاً رایج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت کسر هست، ولی، گویا نیست، بلکه اصم یا عدد گنگ است.

اعداد حسابی همان اعداد طبیعی در دستگاه اعداد عربی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به اعداد حسابی اعداد صحیح نامنفی هم گفته می‌شود. مجموعه اعداد طبیعی {... ،۳ ،۲ ،۱} است. در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی- {... ،۳ ،۲ ،۱ ،۰} - به وجود می‌آید. و به صورت W که میان ان یک مُمیَز می‌باشد نشان داده می‌شود. در حقیقت W حرف اول کلمه انگلیسی Whole به معنی کامل است که معمولاً یک خط کنار ان میگزارند تا با کلمات دیگر قاطی نشود.
تمامی مجموعه‌هایی که از این نوع اعداد درست شده را با I نشان می‌دهند.

اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت اعدادی در دستگاه اعداد عربی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ،۳،۲،۱} است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N یا  نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.
اهداف مربوط به مفاهیم زبانی از اعداد کاردینال و ترتیبی، (به اعداد فارسی نگاه کنید) است. مفهوم بعد این است که از یک شماره فقط برای نامگذاری استفاده می‌شود.